Из учебного пособия ЧуновкиноЙ А.Г. Обработка результатов измерений. Вычисление неопределенности измерений при калибровке: учеб.-метод. пособие / А. Г. Чуновкина. – СПб.: ГУА П, 2016. – 61 с.:
1.2. Методы теории вероятностей и математической статистики (математические методы) для оценивания точности измерений
Теоретико-вероятностный подход к оцениванию точности результатов измерений является основным в метрологии (здесь и далее выделено мной). Именно на этом подходе базируются методы оценивания точности измерений, регламентированные в нормативных документах по обработке результатов измерений и оценивания их точности. Традиционно задача обоснования корректного применения тех или иных теоретико-вероятностных методов относится к ключевым задачам теоретической метрологии. При расширении границ метрологии на новые области, такие как медицина, биология неизменно возникает вопрос, насколько новые объекты измерений и получаемые данные могут быть адекватно описаны в рамках традиционного теоретико-вероятностного подхода. Поэтому постоянно обсуждаются другие возможные подходы к оцениванию точности результатов измерений. Естественно, что как всякий математический аппарат, приложенный к решению практической задачи, теоретико-вероятностный подход имеет ограничения при его применении. Кроме того теоретико-вероятностный подход часто применяется на практике в усеченном виде, а именно широкое применение нашли лишь методы оценивания погрешностей, основанные на нормальном законе их распределения.
Остановимся конспективно на основных положениях применения теоретико-вероятностного подхода для оценивания погрешности (точности) результатов измерений. Когда говорят «оценить погрешность измерения» подразумевают оценку характеристик (показателей точности), о которых говорилось выше. Погрешность результата измерения представляется случайной величиной, вообще говоря, с ненулевым (неизвестным) математическим ожиданием и с неизвестной дисперсией. На практике нас интересуют оценки этих параметров закона распределения погрешностей, которые выступают характеристиками погрешности измерений. В задачах аттестации методик измерения (МВИ ), поверки средств измерений (СИ), когда имеется значение измеряемой величины, полученное с помощью эталона, можно получить точечную оценку математического ожидания погрешности (смещение). В определенных ситуациях можно оценить смещение и ввести поправку в результат измерения. Однако в большинстве измерений оценивают границы суммарной погрешности результата измерений и дисперсию результатов измерений (показатели прецизионности).
Основным принципом оценивания характеристик погрешности результата измерения является раздельное оценивание систематических и случайных погрешностей. Обычно при оценивание случайных и систематических погрешностей используют и разные характеристики: границы для систематических погрешностей и СКО для случайных погрешностей.
Если при оценивании случайных погрешностей применение теоретико-вероятностного подхода строго обосновано, то при оценивании систематических погрешностей его применение требует дополнительной априорной информации, которая позволила бы обосновать те или иные допущения. Если никакой априорной информации нет, то надежной оценкой границ систематической погрешности результата измерения является арифметическая сумма границ ее составляющих (так называемая оценка сверху). Обычно принято такой способ оценивания погрешности называть арифметическим.
Однако в основополагающих документах по оцениванию погрешностей принят квазистатистический (геометрический) способ суммирования систематических составляющих погрешностей. Для суммарной систематической погрешности устанавливаются доверительные границы.
Правомерность такого подхода неоднократно обсуждалась и подытоживая сказанное можно привести следующие обоснования его применения:
– маловероятен тот случай, что при суммировании систематических погрешностей, все систематические погрешности окажутся равными своим границам;
– следует различать априорное и апостериорное оценивание характеристик погрешности.
При апостериорном оценивании вычисляют характеристики погрешности конкретного результата измерений. В этом случае возникают некоторые проблемы в обосновании единообразного сложения «под корнем» случайных и систематических погрешностей. Этот способ характерен, прежде всего, для лабораторных измерений. При априорном оценивании, например, при аттестации МВИ следует учитывать, что МВИ аттестуется на конкретном СИ , в конкретной лаборатории, конкретных стандартных образцах и т. п., а результаты аттестации будут использоваться при применении СИ данного типа, в другой лаборатории и т. д. Поэтому можно констатировать, что при применении МВИ происходит рандомизация систематических погрешностей, что оправдывает применение геометрического способа суммирования. Априорный способ оценивания характерен, прежде всего, для технических измерений.
Наконец, возможен и другой подход для принятия геометрического способа суммирования, а именно договоренность описывать наше незнание поведения неисключенной систематической погрешности внутри ее границ квазислучайной величиной с известным законом распределения, в частности, равномерным законом распределения. При таком подходе оправдано использование в качестве характеристики систематической погрешности аналога СКО , приводящее к простому способу суммирования систематичских и случайных погрешностей. При этом суммарное СКО результата измерения удобно использовать в последующих вычислениях при оценке точности, если данный результат измерения выступает как промежуточный в дальнейших измерениях.
Кратко аргументы оппонентов теоретико-вероятностного подхода могут быть сведены к следующим.
1. Необоснованность представления систематических погрешностей измерений в виде случайных погрешностей. Следовательно, необоснованность «суммирования» характеристик систематических и случайных погрешностей. Это основной аргумент авторов концепции неопределенности.
2. Неоправданность постулирования закона распределения погрешностей (как правило, нормального) без возможности на практике проверить его адекватность.
3. Невозможность «стыковки» теоретико-вероятностного подхода с другими подходами, используемые при машинной обработке данных, что становится непреодолимым препятствием при создании интеллектуальных средств измерений.
Подробнеее остановимся на каждом из перечисленных аргументах.
1. Первый аргумент относится к представлению неисключенных систематических погрешностей в виде случайных величин и использования для их суммирования методов теоретико-вероятностного подхода. Выше было сказано, что без привлечения дополнительной априорной информации такое представление неправомерно и оговорены случаи, когда такой подход оправдан. По сути, именно строгий подход к решению данной проблемы и породил наличие двух способов суммирования составляющих погрешности: геометрический и арифметический. Еще раз подчеркнем, что когда говорится о законе распределения неисключенных систематических погрешностей, то подразумевается, что возможна реализация такого эксперимента, в котором систематические погрешности будут выступать в качестве случайных величин и, соответственно, иметь закон распределения.
2. Второй аргумент, вообще говоря, некорректен. В метрологической практике нет постулирования нормального закона распределения случайных погрешностей. Действительно, наибольшее распространение получили методы оценивания случайных погрешностей, базирующиеся на нормальном законе. Но это, прежде всего, объясняется их простотой и универсальностью. Справедливости ради следует отметить, что развиваются методы применения непараметрических статистик в метрологии. Кроме того, строго говоря, нет постулирования никакого закона распределения, поскольку в статистике имеются процедуры проверки непротиворечивости того или иного закона распределения реальным данным.
3. Третий аргумент связан с извечной проблемой расширения границ классической метрологии и измерениями в различных шкалах. В общем случае состояние объекта измерения может характеризоваться несколькими величинами, значения которых получают в результате измерений. Важно, что эти величины, с одной стороны, оказывают влияние друг на друга, а, с другой, могут измеряться в разных шкалах. Таким образом, возникает проблема обработки разнородной информации. Ясно, что поскольку абсолютная шкала оказывается слишком жесткой для всех величин, то и теоретико-вероятностный подход оказывается неприемлемым в общем случае.
Осознание этого факта и побуждает в данном случае искать адекватный математический аппарат.
Известны две альтернативы теоретико-вероятностному подходу: интервальная арифметика и теория нечетких множеств (Я бы добавил еще и концепцию неадекватности Левина С.Ф.). В интервальной арифметике основным понятием является интервал, для которого определены операции, аналогичные операциям над числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Интервальное представление числа естественно при анализе погрешностей выполнения вычислений. В метрологической практике интервальная арифметика не нашла широкого применения, хотя справедливости ради надо отметить, что арифметический способ суммирования составляющих погрешности, по сути, является реализацией интервальной арифметики. Однако при нетривиальной обработке экспериментальных данных и большом числе составляющих погрешности ее применение приводит к настолько завышенным оценкам границ погрешности, что становится бессмысленным.
Критика теоретико-вероятностного подхода применительно к представлению и обработке экспериментальных данных при измерениях стимулирует его развитие. Возрастает внимание к обоснованию правомерности принятия тех или иных моделей при обработке результатов измерений и оцениванию влияния неадекватности модели на погрешность результата измерения. Для исследования влияния различных алгоритмов обработки данных (моделей) на точность результата измерения во ВНИИМ им. Д. И. Менделеева была разработана методология метрологической аттестации алгоритмов
и программ обработки данных при измерениях.
В качестве альтернативы теоретико-вероятностному подходу для оценивания точности измерений также рассматривается теория «нечетких множеств». Теория нечетких множеств родилась из потребностей формализации нечеткой экспертной информации, например, в социологии или других подобных областях.
При применении аппарата нечетких множеств сложность вызывает интерпретация функции принадлежности и ее оценивание.
Постулирование того или иного вида функции принадлежности, по сути, аналогично постулированию закона распределения при теоретико-вероятностном подходе. Эта аналогия еще более усиливается, если принять во внимание, что наиболее содержательной интерпретацией функции принадлежности является теоретико-вероятностная, в смысле субъективной интепретации вероятности. Операции над нечеткими множествами в некотором смысле аналогичны операциям над простыми множествами: включение, равенство, дополнение, пересечение, объединение. Дополнительно вводятся операции алгебраического произведения и алгебраического дополнения.
На сегодняшний день вопрос о выборе той или иной операции при обработке результатов измерений остается открытым. От этой операции естественно потребовать, чтобы она приводила в определенном смысле к уточнению результата измерения, т. е. к менее размытому нечеткому множеству. Для количественного описания степени размытости вводятся индексы нечеткости, которые используют понятие расстояния между нечеткими множествами (Евклидово расстояние или расстояние Хемминга). Анализ основных операций над нечеткими множествами показал, что они не ведут однозначно к возрастанию индекса нечеткости. Таким образом, можно констатировать, что на сегодняшний день нечеткие множества не могут составить конкуренцию теоретико-вероятностному подходу при оценивании точности измерения.
Конечно, наибольшее обсуждение в последние годы вызвал альтернативный подход, связанный с вычислением неопределенности измерений. Концепция неопределенности измерений была изложена в Руководстве по выражению неопределенности измерения (GUM), которое было подготовлено группой международных экспертов. Семь международных организаций поддержали разработку Руководства: Международное бюро мер и весов (МБМВ); Международная электротехническая комиссия (МЭК); Международная федерация клинической химии (МФК Х); Международная организация по стандартизации (ИСО ); Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК); Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП); Международная организация законодательной метрологии (МОЗ М). Руководство появилось в 1993 г., а работа над ним началась фактически в 1978 г., когда признавая отсутствие международного единства по вопросу выражения неопределенности измерения, Международный комитет по мерам и весам (МКМВ), обратился в МБМВ с просьбой рассмотреть эту проблему совместно с национальными метрологическими институтами и подготовить соответствующий документ. Задачами этого документа были обеспечение предоставления полной информации о том, как получены утверждения о неопределенности измерений и, тем самым, создание основы для международного сопоставления
результатов измерений.
В основе Руководства лежит единый подход к количественному выражению составляющих неопределенности измерений, независимо от того, обусловлены ли они случайными или систематическими факторами. Как уже отмечалось, авторы Руководства не были согласны с обоснованием суммирования характеристик случайных и систематических погрешностей, принятом в теории погрешностей. Поэтому при разработке новой концепции авторы старались максимально дистанцироваться от концепции погрешности измерений, подчеркивая различия в обосновании и применении теоретико-вероятностных методов к оцениванию точности измерений. Для метрологии, как для большинства прикладных наук, важным является вопрос обоснования корректности применения того или иного формального математического аппарата. Отличие двух вышеназванных подходов (погрешности и неопределенности измерений) к количественному выражению точности заключается в обосновании применения понятия случайной величины для описания точности измерений. В подходе погрешности измерений случайная величина используется для описания случайных погрешностей (частотная интерпретация вероятности) и при дополнительных оговорках для описания неисключенных систематических погрешностей измерений (квазислучайная величина). А в подходе неопределенности измерений понятие случайной величины используется для описания возможных значений измеряемой величины, исходя из имеющейся информации. Этот подход базируется на байесовской интерпретации вероятности как степени уверенности в том, что соответствующая величина находится в определенных границах, в отличие от частотной интерпретации, которая используется в подходе погрешностей измерений.
Таким образом, неопределенность измерения понимается как степень уверенности, отражающая неполноту знания измеряемой величины. Понятие «уверенности» очень важно, так как именно оно лежит в обосновании применение теоретико-вероятностного аппарата для обработки измерительной информации.
Наиболее полной формой представления неопределенности измерения является плотность распределения возможных значений измеряемой величины. На практике в большинстве случаев для количественного выражения неопределенности используют, прежде всего, стандартную неопределенность, которая является квадратным корнем из дисперсии случайной величины, описывающей распределение возможных значений измеряемой величины. Стандартная неопределенность – это именно та универсальная характеристика для разнородных источников неопределенности, которая позволяет легко их суммировать, когда необходимо вычислить суммарную неопределенность измеряемой величины. В данном случае геометрическое правило суммирования составляющих неопределенности базируется на правиле суммирования дисперсий независимых случайных величин при вычислении дисперсии случайной величины, которая является их линейной комбинацией.
В Руководстве рассмотрен случай вычисления неопределенности измерения для косвенных измерений, когда уравнение измерений допускает линеаризацию. Именно этот случай рассматривается и в данном учебно-методическом пособии. Но этим случаем не ограничиваются все задачи вычисления неопределенности измерения.
Мой вывод: различные концепции существуют одновременно, по крайней мере, пока - хотим мы того или нет.
Объяснение этому простое:
1. Пока мы не научились правильно и однозначно ставить условие задачи
2. Не нашли способа построения модели, дающего из условий по пункту 1 получать однозначную модель
3. Не нашли однозначного способа решения задачи
Когда-нибудь на определенном этапе развития Человечества люди сделают свой выбор - тогда все будет однозначно. Предполагаю, что к тому времени не останется ни одной из перечисленных выше концепций - появится какая-то другая...
